If $t_n$ denotes the $n^{th}$ term of the series 2 + 3 + 6 + 11 + 18 +....... what will be the ${25}^{th}$ term of the series?

বিস্তারিত সমাধান:

  
1. প্রথমে আমরা প্রদত্ত ধারার পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য (first differences) নির্ণয় করি:
  
    
• \(t_2 - t_1 = 3 - 2 = 1\)
    
• \(t_3 - t_2 = 6 - 3 = 3\)
    
• \(t_4 - t_3 = 11 - 6 = 5\)
    
• \(t_5 - t_4 = 18 - 11 = 7\)
  
  
2. এই পার্থক্যগুলো একটি নতুন ধারা তৈরি করে: 1, 3, 5, 7, ...
  
3. এবার এই নতুন ধারার পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য (second differences) নির্ণয় করি:
  
    
• \(3 - 1 = 2\)
    
• \(5 - 3 = 2\)
    
• \(7 - 5 = 2\)
  
  
4. যেহেতু দ্বিতীয় পার্থক্যগুলো ধ্রুবক (constant), তাই ধারাটির \(n\)-তম পদ একটি দ্বিঘাত রাশি (quadratic expression) হবে, যা \(t_n = An^2 + Bn + C\) আকারের।
  
5. প্রথম তিনটি পদ ব্যবহার করে আমরা A, B এবং C এর মান নির্ণয় করব:
  
    
• \(n=1\) হলে, \(t_1 = A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 2\) (সমীকরণ ১)
    
• \(n=2\) হলে, \(t_2 = A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 3\) (সমীকরণ ২)
    
• \(n=3\) হলে, \(t_3 = A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 6\) (সমীকরণ ৩)
  
  
6. সমীকরণ (২) থেকে (১) বিয়োগ করে পাই:
  

\((4A + 2B + C) - (A + B + C) = 3 - 2\)

  

\(3A + B = 1\) (সমীকরণ ৪)

  
7. সমীকরণ (৩) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই:
  

\((9A + 3B + C) - (4A + 2B + C) = 6 - 3\)

  

\(5A + B = 3\) (সমীকরণ ৫)

  
8. সমীকরণ (৫) থেকে (৪) বিয়োগ করে পাই:
  

\((5A + B) - (3A + B) = 3 - 1\)

  

\(2A = 2\)

  

\(A = 1\)

  
9. \(A = 1\) এর মান সমীকরণ (৪) এ বসিয়ে পাই:
  

\(3(1) + B = 1\)

  

\(3 + B = 1\)

  

\(B = 1 - 3\)

  

\(B = -2\)

  
10. \(A = 1\) এবং \(B = -2\) এর মান সমীকরণ (১) এ বসিয়ে পাই:
  

\(1 + (-2) + C = 2\)

  

\(-1 + C = 2\)

  

\(C = 2 + 1\)

  

\(C = 3\)

  
11. সুতরাং, ধারাটির \(n\)-তম পদ হলো \(t_n = 1n^2 - 2n + 3 = n^2 - 2n + 3\)।
  
12. এখন আমরা \(25\)-তম পদ নির্ণয় করব (\(n = 25\)):
  

\(t_{25} = (25)^2 - 2(25) + 3\)

  

\(t_{25} = 625 - 50 + 3\)

  

\(t_{25} = 575 + 3\)

  

\(t_{25} = 578\)

  
13. প্রদত্ত অপশনগুলো যাচাই করি:
  
    
• অপশন 1: \(25^2 - 1 = 625 - 1 = 624\)
    
• অপশন 2: \(25^2 + 1 = 625 + 1 = 626\)
    
• অপশন 3: \(24^2 + 1 = 576 + 1 = 577\)
    
• অপশন 4: \(24^2 + 2 = 576 + 2 = 578\)
  
  
14. আমাদের নির্ণীত \(25\)-তম পদ 578, যা অপশন 4 এর সাথে মিলে যায়।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা দেখেছি যে, ধারাটির \(n\)-তম পদের সূত্র \(t_n = n^2 - 2n + 3\)। এই সূত্রটিকে বীজগণিতের সাধারণ আকারে প্রকাশ করা যায়:

\(t_n = n^2 - 2n + 1 + 2\)

আমরা জানি, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)। এই সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি:

\(t_n = (n-1)^2 + 2\)

এখন, \(25\)-তম পদ নির্ণয় করার জন্য \(n = 25\) বসিয়ে পাই:

\(t_{25} = (25-1)^2 + 2\)

\(t_{25} = (24)^2 + 2\)

\(t_{25} = 576 + 2\)

\(t_{25} = 578\)

যা অপশন 4 এর সাথে সরাসরি মিলে যায়।